大家好，我是EYS的张森，在EYS从事音乐机器学习的开发业务。今天我们谈谈非负矩阵分解（NMF）。 

矩阵分解和非负矩阵分解 

从某段钢琴的触的第一、第二成分 

第一、第二成分强度的时间推移 

    矩阵分解，就是把一个（N，M）的矩阵V分解成两个矩阵W和H 

V = WH 

W和H分别为（N，h）和（h, M）的矩阵。这样一来，乍一看好像需要处理的变数增加了，然而通常情况下h远远小于N和M，所以整体的成分是减少的。也就是说用更少的数字记述同一个量。 

    在这里，V相当于你拥有N个样本，每个样本里有M种数据。而把V分解成W和H，就相当于你把原先有M成分的量分解成h种主要的成分（H），然后把每个样本数据用这h种成分来说明（W）。这样做的原因是，M在数量上可能有很多，但起主要作用的因素往往没有那么多。H把主要成分抽取了出来，有时也被称为字典（dictionary）。 

    比如说音乐，我们可以把频谱当作行列来看，每段时间就相当于一个样本，每段时间内的每个频率振幅就相当于样本所带的数据。我们知道每个声音往往都有其固定的频率分布，而矩阵分解就相当于抽出其中最常见的几种分布（比如说各种音高的音频分布等），然后用它们重新构成原先的音乐。频谱通常取傅立叶分解系数的绝对值，V是一个正值的矩阵，我们需要H也是正值。而我们把声音分解成各个成分时也每个成分应该也是正的，所以也需要W为正值。在V为正的前提下，保证W和H为正直的分解，就是非负矩阵分解。 

实际效果 

    接下来我们看看处理的实际效果。声音是随便从Freesound.org下载的。 

https://drive.google.com/open?id=1q-CbQ12pJ_fgs80vltTbPGZMtK-JCq2l

如果只用一种成分（h=1）的话，结果就是一种声音在演奏 

https://drive.google.com/open?id=1Zxixv4mE4S7IWQYYgKF6FEhZkwJwjWjx

用五种成分（h=5）时，声音就显得有变化了： 

https://drive.google.com/open?id=1MyXEPLIHhRe6B7VlDNFMQwi3GJEePHua

用十种成分，声音好许多了： 

https://drive.google.com/open?id=1b1tbW4y8mXoklsCaxEFpmkcJdC4xed2S

用二十种成分，一部分余韵似乎也出来了： 

https://drive.google.com/open?id=17F–ZBIzRe-aAR8Idi6HKSZKdGgbmtWF

需要注意的是，傅立叶分析后的数据每个样本里有600多个成分，现在仅用20个成分就可以几乎重现原本的声音了。说明钢琴声音作为音乐数据，内部应该是存在很强的结构和规律的。 

最后，我们把整个音频的频率分布和NMF成分做了一个比较动画，供大家参考。